七年级数学下册《数据的分析》知识点归纳湘教版

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七年级数学下册《数据的分析》知识点归纳湘教版

第六章 数据的分析

一、知识点讲解:

1.平均数:

(1)算术

平均数:一组数据中,有n个数据

x1

,,则它们的算术平均数为 

x1x2xn

n

.

(2)加权平均数:

若在一组数字中,出现次,出现次,„,

出现次,那么

叫做、、„、的加权平均数。其中,、、„、分别是、、„、的权.

权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。 权的表示方法:比、百分比、频数(人数、个数、次数等)。

2.中位数:将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 3.众数:一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。 4.平均数中位数众数的区别与联系 相同点

平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在:都是来描述数据集中趋势的统计量;都可用来反映数据的一般水平;都可用来作为一组数据的代表。 不同点

它们之间的区别,主要表现在以下方面。 1)、定义不同

平均数:一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。

中位数:将一组数据按大小顺序排列,处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。 众数:在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。 2)、求法不同

平均数:用所有数据相加的总和除以数据的个数,需要计算才得求出。

中位数:将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列,如果数据个数是奇数,则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。它的求出不需或只需简单的计算。

众数:一组数据中出现次数最多的那个数,不必计算就可求出。 3)、个数不同

在一组数据中,平均数和中位数都具有惟一性,但众数有时不具有惟一性。在一组数据中,可能不止一个众数,也可能没有众数。 4)、代表不同

平均数:反映了一组数据的平均大小,常用来一代表数据的总体 “平均水平”。

中位数:像一条分界线,将数据分成前半部分和后半部分,因此用来代表一组数据的“中等水平”。 众数:反映了出现次数最多的数据,用来代表一组数据的“多数水平”。

x

这三个统计量虽反映有所不同,但都可表示数据的集中趋势,都可作为数据一般水平的代表。 5)、特点不同

平均数:与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。主要缺点是易受极端值的影响,这里的极端值是指偏大或偏小数。

中位数:与数据的排列位置有关,某些数据的变动对它没有影响;它是一组数据中间位置上的代表值,不受数据极端值的影响。

众数:与数据出现的次数有关,着眼于对各数据出现的频率的考察,其大小只与这组数据中的部分数据有关,不受极端值的影响,其缺点是具有不惟一性,一组数据中可能会有一个众数,也可能会有多个或没有 。 6)、作用不同

平均数:是统计中最常用的数据代表值,比较可靠和稳定,因为它与每一个数据都有关,反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平均情况,也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。因此,它在生活中应用最广泛,比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。

中位数:作为一组数据的代表,可靠性比较差,因为它只利用了部分数据。但当一组数据的个别数据偏大或偏小时,用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。

众数:作为一组数据的代表,可靠性也比较差,因为它也只利用了部分数据。。在一组数据中,如果个别数据有很大的变动,且某个数据出现的次数最多,此时用该数据(即众数)表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。

5.极差:一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。极差反映的是数据的变化范围。 6.方差:设有n个数据x1,x2,各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1),„,,xn,(x2),我们用它们的平均数,即用 (xn)2,,

1

S2[(x1)2(x2)2(xn)2]

n来衡量这组数据的波动大小,并把它叫做这组数据的方差。 当一组数据比较小时可以用公式s

2

2

2

21

[(x12x22...xn2)nx]计算。 n

方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小,就越稳定。 标准差:方差的算术平方根,即

S

1

x12x22xn2 n

并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量. 7.极差、方差和标准差的区别与联系:

联系:极差、方差和标准差都是用来衡量(或描述)一组数据偏离平均数的大小(即波动大小)的指标,常用来比较两组数据的波动情况。

区别:极差是用一组数据中的最大值与最小值的差来反映数据的变化范围,主要反映一组数据中两个极端值之间的差异情况,对其他的数据的波动不敏感。

方差是用“先平均,再求差,然后平方,最后再平均”的方法得到的结果,主要反映整组数据的波动情况,是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标,每个数年据的变化都将影响方差的结果,是一个对整组数据波动情况更敏感的指标。在实际使用时,往往计算一组数据的方差,来衡量一组数据的波动大小。 标准差实际是方差的一个变形,只是方差的单位是原数据单位的平方,而标准差的单位与原数据单位相同。

8.数据的收集与整理的步骤:

1.收集数据 2.整理数据 3.描述数据 4.分析数据 5.撰写调查报告 6.交流 9.平均数、方差的三个运算性质

如果一组数据x1,x2,x3,„„,xn的平均数是x,方差是s。

2

那么(1)一组新数据x1+b,x2+b,x3+b,„„,xn+b的平均数是x+b,方差是s。

2

(2)一组新数据ax1,ax2,ax3,„„,axn的平均数是ax,方差是as.

22

(3)一组新数据ax1+b,ax2+b,ax3+b,„„,axn+b的平均数是ax+b,方差是as. 二、典型例题:

22

1.5名同学目测同一本教科书的宽度时,产生的误差如下(单位:mm):2,2,1,1,0,则这组数据的极差为( ).

A.4 mm B.3 mm C.5 mm D.0 mm

2.小伟五次数学考试成绩分别为:86分,78分,80分,85分,92分,李老师想了解小伟数学学习变化情况,则李老师最关注小伟数学成绩的( ). A.平均数

B.众数

C.中位数

D.方差

3. 一组数据的方差一定是( ). A.正数 B.任意实数

C.负数

D.非负数

4.金华火腿闻名遐迩.某火腿公司有甲、乙、丙三台切割包装机,同时分装质量为500克的火腿心片.现从它们分装的火腿心片中各随机抽取10盒,经称量并计算得到质量的方差如表所示,你认为包装质量最稳定的切割包装机是( ).

A.甲 B.乙 C.丙 D.不能确定

5.某地统计部门公布最近5年国民消费指数增长率分别为8.5%,9.2%,9.9%,10.2%,3.8%,业内人士评论说:“这五年消费指数增长率之间相当平稳”,从统计角度看,“增长率之间相当平稳”说明这组数据的哪个数据比较小( ).

A.方差 B.平均数 C.众数 D.中位数

6.在一次射击测试中,甲、乙、丙、丁的平均环数均相同,而方差分别为8.7,6.5,9.1,7.7,则这四人中,射击成绩最稳定的是( ). A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

7.一次数学测试后,随机抽取九年级二班5名学生的成绩如下:78,85,91,98,98.关于这组数据的错.误说法是( ). ...A.极差是20

B.众数是98

C.中位数是91

D.平均数是91

8.若一组数据2,4,x,6,8的平均数是6,则这组数据的方差是( ). A.

B.8

C.

D.40

9.我国著名的珠穆朗玛峰海拔高达8844m,在它周围2km的附近,耸立的几座著名山峰的高度如下表:

则这七座山峰海拔高度的极差为 m.

10.一组数据5,5,5,5,5的方差是 .

11.对甲、乙两台机床生产的零件进行抽样测量.其平均数、方差计算结果如下:x甲=10,S甲2=0.02;机床乙:x乙=10,S乙2= 0.0 6,由此可知:_________(“甲”或“乙”)机床性能好.

12.甲、乙两种产品进行对比实验,得知乙产品性能比甲产品性能更稳定,那么分析计算它们的方差S甲,

2

S乙的大小关系是 .

2

13.一组数据1,2,3,x,5的平均数是3,则该组数据的方差是 . 14.已知数据a,b,c的方差是1,则4a,4b,4c的方差是 .

15.甲、乙两台包装机同时包装质量为200g的糖果,从中各抽取10袋,测得其实际质量分别如下表:(单位:克)

(1)分别计算出两个样本的平均数与方差;

(2)从计算结果看,哪台包装机的10袋糖果的平均质量更接近200g?哪台包装机包装的10袋糖果质量比较稳定?

16.李明、王林两人参加奥赛班集训的11次测验成绩如下表:(单位:分)

(1)他们两人的平均成绩各是多少分? (2)他们两人的极差和方差各是多少?

(3)现要从中选一人参加比赛,历届比赛的成绩表明,成绩在98分以上才能进入决赛,你认为应选谁参加这次比赛呢,为什么?

(4)试分析两位同学的成绩特点,并对他们以后的学习各提出一条建议.

17.某校为选拔参加2007年全国初中数学竞赛的选手,进行了集体培训.在集训期间进行了10次测试,假设其中两位同学的测试成绩如下表所示:

(1)根据图表中所示的信息填写下表:

(2)这两位同学的测试成绩各有什么特点(从不同的角度分别说出一条即可)?

(3)为了使参赛选手取得好成绩,应选谁参加比赛?为什么?

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