八年级数学重要复习资料:逻辑推理

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八年级数学重要复习资料:逻辑推理

 定义:
  把不同排列顺序的意识进行相关性的推导就是逻辑推理。简而言之可以理解为宇宙中任意基本“原件”的排列组合得出的现象或概念,属于唯心主义范畴。假如存在不同的感知系统,对于“同一组基本原件”在特定时空的排列组合方式所呈现的现象或概念,可以得出不同的逻辑推理方式。
  基本依据:
  当对一个命题的正确性进行判断时,一个东西不能同时是什么又不是什么,不可能同时是甲又是乙,如果出现这种情况,就说明在逻辑上是矛盾的。
  一般解法:
  从某一个条件出发,根据其他条件进行正确推理,如果最后得到的结论满足全部条件而不出现矛盾,这就是所要求的方案;如果得到相互矛盾的结果,就必须改换其他条件重新开始,知道得出满足条件的方案为止。
  逻辑中有三种逻辑推理的方式:
  演绎、归纳和溯因。给定前提、结论和规则,而前提导致结论,则可分别解释如下:
  演绎用来决定结论 。它使用规则和前提来推导出结论 。数学家通常使用这种推理。
  举例:"若下雨,则草地会变湿。因为今天下雨了,所以今天草地是湿的。"。
  归纳用来决定规则 。它借由大量的前提和结论所组成的例子来学习规则 。科学家通常使用这种推理。
  举例:"每次下雨,草地都是湿的。因此若明天下雨,草地就会变湿。"。
  溯因用来决定前提 。它借由结论和规则来支援前提以解释结论 。诊断和侦探通常使用这种推理。
  举例:"若下雨,草地会变湿。因为草地是湿的,所以曾下过雨。"
  6大逻辑推理技巧:
  1. 计算推导:
  计算推导是逻辑推理过程中最基本的方法。我们每个人从小学开始就学会做计算了,但是对于计算的用处究竟有多大,能够透露出多少隐藏在问题背后的信息,就不是人人都清楚的了。
  事实上,计算和其他推理技巧一样,都是我们进行逻辑推理时最基本、最可靠的工具,特别是在运用代数的方法来解决问题时,它往往能暴露问题的本质,使我们得出充足、可靠的结论。但是要注意:计算推导一定要完备,不能漏掉任何一种情况,哪怕这种情况的出现是如此的不正常。
  2.演绎推理:
  演绎是一种由一般到个别的推理方法。在演绎推理过程中,前提和结论之间的联系是必然的,结论不能超出前提所断定的范围。
  对于一个正确的演绎推理过程,如果其前提是真的,则所得到的结论也一定是真的,这是演绎推理的一个重要特征。
  演绎推理中有一种特殊的方法,称为递推。所谓递推,就是利用研究对象之间的联系,用前一步的结论去推导下一步的结论,以达到简化问题的目的。递推是一种非常有效的思考方法,它有点像多米诺骨牌,推倒第一块以后,后面的骨牌就会依次倒下。如果能够熟练运用递推技巧,你会发现,许多看上去很难的题目也可以轻松地找到答案。
  3.归纳分类:
  归纳是一种由个别到一般的推理方法,初三。与演绎推理不同,归纳推理得出的结论不一定绝对正确,所以有时我们称它具有或然性。但归纳推理中有一种特殊的完全归纳推理,应用完全归纳推理时,只要我们考察了该类事物的全部对象,那么结论就必然是完全真实的。
  在进行归纳推理时,一个很重要的技巧就是要对它们进行分类,把它们分成若干个小组,然后分别进行分析。分类可以使每一部分的研究对象都比原来的问题更简单,相互之间的关系更清晰。
  4.反向思考:
  反向思考是解决逻辑推理问题的一种特殊方法。任何一个问题都有正反两个方面。所谓正难则反,很多时候,从正面解决问题相当困难,这时如果从其反面去想一想,常常会茅塞顿开,获得意外的成功。这就是反向思考。
  在进行逻辑推理时,有时已知的条件很多,能够运用的逻辑关系也很复杂,要从众多的可能性中寻找所需要的结果,往往是非常困难的。这时,我们可以运用反向思考方法,从结果出发,排除掉一些不可能的情况,使剩下的情况减少,便于我们最后的分析。如果情况减少到一定程度,我们甚至可以用穷举的方法,依次考察所有情况,从而找到问题的答案。
  5. 图表分析:
  在逻辑思考过程中有这样一些问题,所涉及或所列出的事物情况比较多,而且又具有一定的表列特征,这时候如果我们把它转化成一个直观易读的图形或者表格,就会非常容易地迅速寻找到答案。
  图表会给我们指出一些逻辑关系链,它们限制了选择的可能性,使得我们需要考虑的情况得到极大的简化。假如不利用图表的帮助,单凭想像,则往往容易产生混乱,难于理清头绪。 除了用图表来展现我们看到的问题以外,有时候我们还需要研究别人提供的图表。这时,看出图像的本质就很重要了。
  有一种常见的方式剥出图像的本质,那就是染色。所谓染色,就是将研究对象按照一定的要求涂上颜色来解决问题。实质上,染色就是利用图形和颜色来进行分类,从而更加直观地显现出问题的本质。
  6.思维变换:
  在逻辑推理过程中,我们经常需要改变自己的思路,也就是进行思维变换,它往往可以使问题变得更容易解决。
  这里我们着重介绍两种重要的思维变换技巧:对应和转化。
  所谓对应,就是将两类元素一一对应,从而把我们需要解决的元素,变换成与其相对应的另外一些元素。对应可以使我们不用去处理问题中较复杂的部分,从而达到简化问题的效果,使问题的解决更方便一些。
  转化就是将一个问题转变成另外一个问题来加以解决。和对应有些类似,转化也运用了一一对应的方式,差别在于它更偏重于把整个问题都转化为另一个问题。通常情况下,是将复杂的问题转化为较简单的问题,或者是将一个未解决的问题转化为一个已经解决的问题。


 1.如何问问题?
  有甲、乙两人,其中,甲只说假话,而不说真话;乙则是只说真话,不说假话。但是,他们两个人在回答别人的问题时,只通过点头与摇头来表示,不讲话。有一天,一个人面对两条路:A与B,其中一条路是通向京城的,而另一条路是通向一个小村庄的。这时,他面前站着甲与乙两人,但他不知道此人是甲还是乙,也不知道“点头”是表示“是”还是表示“否”。现在,他必须问一个问题,才可能断定出哪条路通向京城。那么,这个问题应该怎样问?
  答案:这个人只要站在A与B任何一条路上,然后,对着其中的一个人问:“如果我问他(甲、乙中的另外一个人)这条路通不通向京城,他会怎么回答?”
  2.他们的职业是分别什么?
  小王、小张、小赵三个人是好朋友,他们中间其中一个人下海经商,一个人考上了重点大学,一个人参军了。此外他们还知道以下条件:小赵的年龄比士兵的大;大学生的年龄比小张小;小王的年龄和大学生的年龄不一样。请推出这三个人中谁是商人?谁是大学生?谁是士兵?
  答案:小张是商人,小赵是大学生,小王是士兵。假设小赵是士兵,那么就与题目中“小赵的年龄比士兵的大”这一条件矛盾了,因此,小赵不是士兵;假设小张是大学生,那就与题目中“大学生的年龄比小张小”矛盾了,因此,小张不是大学生;假设小王是大学生,那么,就与题目中“小王的年龄和大学生的年龄不一样”这一条件矛盾了,因此,小王也不是大学生。所以,小赵是大学生。由条件小赵的年龄比士兵的大,大学生的年龄比小张小得出小王是士兵,小张是商人。
  3.谁做对了?
  甲、乙、丙三个人在一起做作业,有一道数学题比较难,当他们三个人都把自己的解法说出来以后,甲说:“我做错了。”乙说:“甲做对了。”丙说:“我做错了。”在一旁的丁看到他们的答案并听了她们的意见后说:“你们三个人中有一个人做对了,有一个人说对了。”请问,他们三人中到底谁做对了?
  3.假设丙做对了,那么甲、乙都做错了,这样,甲说的是正确的,乙、丙都说错了,符合条件,因此,丙做对了。
  4.鞋子的颜色
  小丽买了一双漂亮的鞋子,她的同学都没有见过这双鞋了,于是大家就猜,小红说:“你买的鞋不会是红色的。”小彩说:“你买的鞋子不是黄的就是黑的。”小玲说:“你买的鞋子一定是黑色的。”这三个人的看法至少有一种是正确的,至少有一种是错误的。请问,小丽的鞋子到底是什么颜色的?
  4.假设小丽的鞋子是黑色的,那么三种看法都是正确的,不符合题意;假设是黄色的,前两种看法是正确的,第三种看法是错误的;假设是红色的,那么三句话都是错误的。因此,小丽的鞋子是黄色的。
  5.谁偷吃了水果和小食品?
  赵女士买了一些水果和小食品准备去看望一个朋友,谁知,这些水果和小食品被他的儿子们偷吃了,但她不知道是哪个儿子。,为此,赵女士非常生气,就盘问4个儿子谁偷吃了水果和小食品。老大说道:“是老二吃的。”老二说道:“是老四偷吃的。”老三说道:“反正我没有偷吃。”老四说道:“老二在说谎。”这4个儿子中只有一个人说了实话,其他的3个都在撒谎。那么,到底是谁偷吃了这些水果和小食品?
  答案:是老三偷吃了水果和小食品,只有老四说了实话。用假设法分别假设老大、老二、老三、老四都说了实话,看是否与题意矛盾,就可以得出答案。
  6.谁在说谎,谁拿走了零钱?
  姐姐上街买菜回来后,就随手把手里的一些零钱放在了抽屉里,可是,等姐姐下午再去拿钱买菜的时候发现抽屉里的零钱没有了,于是,她就把三个妹妹叫来,问她们是不是拿了抽屉里的零钱,甲说:“我拿了,中午去买零食了。”乙说:“我看到甲拿了。”丙说:“总之,我与乙都没有拿。”这三个人中有一个人在说谎,那么到底谁在说谎?谁把零钱拿走了?
  答案:丙说谎,甲和丙都拿了一部分。假设甲说谎的话,那么乙也说谎,与题意不符;假设乙说谎,那么甲也说谎,与题意不符。那么,说谎的肯定是丙了,只有甲和丙都拿零钱了才符合题意。
  7.夜明珠在哪里?
  一个人的夜明珠丢了,于是他开始四处寻找。有一天,他来到了山上,看到有三个小屋,分别为1号、2号、3号。从这三个小屋里分别走出来一个女子,1号屋的女子说:“夜明珠不在此屋里。”2号屋的女子说:“夜明珠在1号屋内。”3号屋的女子说:“夜明珠不在此屋里。”这三个女子,其中只有一个人说了真话,那么,谁说了真话?夜明珠到底在哪个屋里面?
  答案:1号屋的女子说的是真话,夜明珠在3号屋子内。假设夜明珠在1号屋内,那么2号屋和3号屋的女子说的都是真话,因此不在1号屋内;假设夜明珠在2号屋内,那么1号屋和3号屋的女子说的都是真话,因此不在2号屋内;假设夜明珠在3号屋内,那么只有1号屋的女子说的是真话,因此,夜明珠在3号屋里内。

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