八年级数学上册知识点归纳:勾股定理的逆定理

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八年级数学上册知识点归纳:勾股定理的逆定理

知识点总结
  一、勾股定理:
  1.勾股定理内容:如果直角三角形的两直角边长分别为a,斜边长为c,那么a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
  2.勾股定理的证明:
  勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法
  用拼图的方法验证勾股定理的思路是:
  (1)图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变;
  (2)根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理。
  
  4.勾股定理的适用范围:
  勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
  二、勾股定理的逆定理
  1.逆定理的内容:如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,其中c为斜边。

  说明:(1)勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和与较长边的平方作比较,若它们相等时,以a,b,c为三边的三角形是直角三角形;
  (2)定理中a,b,c及a2+b2=c2只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但此时的斜边是b.
  2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤:
  (1)确定最大边;
  (2)算出最大边的平方与另两边的平方和;
  (3)比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等,若相等,则说明是直角三角形。
  三、勾股数
  能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数.
  四、一个重要结论:
  由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较小面积和等于较大面积”。
  五、勾股定理及其逆定理的应用
  解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题,折叠问题、梯子下滑问题等,常直接间接运用勾股定理及其逆定理的应用。
  常见考法
  (1)直接考查勾股定理及其逆定理;(2)应用勾股定理建立方程;(3)实际问题中应用勾股定理及其逆定理。
  误区提醒
  (1)忽略勾股定理的适用范围;(2)误以为直角三角形中的一定是斜边。
  【典型例题】(2010湖北孝感)
  [问题情境]
  勾股定理是一条古老的数学定理,它有很多种证明方法,我国汉代数学家赵爽根据弦图,利用面积法进行证明,著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。
  [定理表述]
  请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);
  [尝试证明]
  以图1中的直角三角形为基础,可以构造出以a、b为底,以a+b为高的直角梯形(如图2),请你利用图2,验证勾股定理;
  [知识拓展]

一、选择题(共10小题,每小题4分,满分40分)
  1.△ABC的三边分别为下列各组值,其中不是直角三角形三边的是(  )
  A.a=41,b=40,c=9B.a=1.2,b=1.6,c=2
  C.a=12,b=13,c=14D.a=35,b=45,c=1
  2.以下列数组为三角形的边长:(1)5,12,13;(2)10,12,13;(3)7,24,25;(4)6,8,10,其中能构成直角三角形的有(  )
  A.4组B.3组C.2组D.1组
  3.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,如图,其中正确的是(  )
  A.
  
  B.
  
  C.
  
  D.
  
  4.下列命题中,真命题是(  )
  A.如果三角形三个角的度数比是3:4:5,那么这个三角形是直角三角形;
  B.如果直角三角形两直角边的长分别为a和b,那么斜边的长为a2+b2;
  C.若三角形三边长的比为1:2:3,则这个三角形是直角三角形;
  D.如果直角三角形两直角边分别为a和b,斜边为c,那么斜边上的高h的长为abc显示解析5.下列命题的逆命题是真命题的是(  )
  A.若a=b,则a2=b2
  B.全等三角形的周长相等
  C.若a=0,则ab=0
  D.有两边相等的三角形是等腰三角形
  显示解析6.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,下列命题中的假命题是(  )
  A.如果∠C-∠B=∠A,则△ABC是直角三角形
  B.如果c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°
  C.如果(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形
  D.如果∠A:∠B:∠C=5:2:3,则△ABC是直角三角形
  7.下列四条线段不能组成直角三角形的是(  )
  A.a=8,b=15,c=17B.a=9,b=12,c=15
  C.a=5,b=3,c=2
  D.a:b:c=2:3:4
  8.以下面每组中的三条线段为边的三角形中,是直角三角形的是(  )
  A.5cm,12cm,13cmB.5cm,8cm,11cm
  C.5cm,13cm,11cmD.8cm,13cm,11cm
  9.△ABC中,如果三边满足关系BC2=AB2+AC2,则△ABC的直角是(  )
  A.∠CB.∠AC.∠BD.不能确定
  10.三角形的三边长为a,b,c,且满足(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是(  )
  A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形
  二、填空题(共16小题,满分40分)
  11.已知△ABC的三边长a,b,c分别为6,8,10,则△ABC(请填“是”或“不是”)直角三角形. 显示解析12.△ABC中,AB=7,AC=24,BC=25,则∠A=度. 显示解析13.△ABC中,BC=n2-1,AC=2n,AB=n2+1(n>1),则这个三角形是三角形. 显示解析14.如果三角形的三边长为1.5,2,2.5,那么这个三角形最短的高为. 显示解析15.已知一个三角形的三边长分别为k+1,k+2,k+3,那么当k=时,此三角形是直角三角形.☆☆☆☆☆显示解析16.在△ABC中,若a2+b2=25,a2-b2=7,c=5,则最大边上的高为. 显示解析17.若一个三角形的三边之比为5:12:13,且周长为60cm,则它的面积为cm2.★☆☆☆☆显示解析18.三角形的两边长为5和4,要使它成为直角三角形,则第三边的平方为. 显示解析19.如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这条边所对的角等于度.☆☆☆☆☆显示解析三、解答题(共8小题,满分0分)
  
  27.如图所示,四边形ABCD中,BA⊥DA,AB=2,AD=23,CD=3,BC=5,则∠ADC=度. 显示解析
  
  28.如图所示,在△ABC中,AB:BC:CA=3:4:5,且周长为36cm,点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动;点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动,如果同时出发,则过3秒时,△BPQ的面积为cm2.☆☆☆☆☆显示解析
  
  29.已知:如图,四边形ABCD,AB=1,BC=34,CD=134,AD=3,且AB⊥BC.则四边形ABCD的面积为. 显示解析
  
  30.如图,小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜,爸爸让小明计算一下土地的面积,以便计算一下产量.小明找了一卷米尺,测得AB=4米,BC=3米,CD=13米,DA=12米,又已知∠B=90度.那么这块土地的面积为平方米. 显示解析
  
  31.如图,在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿,早晨测得它的影长为4米,中午测得它的影长为1米,则A、B、C三点构成直角三角形(请填“能”或“不能”) 显示解析32.如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截,六分钟后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西40°,则甲巡逻艇的航向为北偏东度.
  
  33.能够成为直角三角形三边长的三个正整数,我们称之为一组勾股数,观察下列表格所给出的三个数a,b,c,a
  (1)试找出它们的共同点,并证明你的结论;
  (2)写出当a=17时,b,c的值.3,4,5 32+42=52
  5,12,13, 52+122=132
  7,24,25 72+242=252
  9,40,41 92+402=412……17,b,c 172+b2=c2
  34.已知:在△ABC中,CD⊥AB于D,且CD2=AD•BD.
  求证:△ABC总是直角三角形.

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